Matematik Atölyesi

Matematik,neden bahsettiğimizi de söylediğimiz şeyin doğru olup olmadığını da asla bilemediğimiz konudur.(B.Russell)


23 Aralık 2010 Perşembe

Gödel'in 'eksiklik teoremi' ve etkileri

Kurt Gödel’in 1931 yılında kanıtladığı Eksiklik Teoremidir. Konuyu iyi kavrayamayanlar, bu teoremin matematiğe karşı duyulan sarsılmaz güveni ciddi olarak sarstığını sanırlar. Bu işin aslını biraz açmakta yarar vardır:Bir M matematik sisteminde iki nitelik ararız.
1. Tamlık (completeness): İçindeki her teorem kanıtlanabiliyorsa sistem tamdır. Başka bir deyişle, sistemdeki her p önermesi için ya „p doğrudur‟ ya da „p yanlıştır‟ teoremlerinden biri kanıtlanabiliyorsa M sistemi tamdır.
2. Tutarlılık (çelişkisizlik, consistency): M sistemindeki her p önermesi için ya “p doğrudur” ya da “p yanlıştır” teoremlerinden ancak birisi geçerliyse M sistemi tutarlı, her ikisi aynı anda varsa M sistemi tutarsızdır.
1931 yılında Kurt Gödel (1906-1978), eksiklik teoremi adıyla bilinen şu teoremi kanıtladı. “Yeterince büyük tutarlı bir sistem içinde doğru olduğu halde kanıtlanamayan önermeler (teoremler) vardır.” Bu teorem, sistemin işe yaramaz olduğu anlamına gelmiyor. Bunu daha iyi anlayabilmek için, Turing makinasına bakalım. Alan Mathison Turing (1912-1954), matematikte çözümü olan her problemi çözecek mekanik bir aletin olup olamayacağını düşündü. Adına mekanik makina diyoruz, ama o gerçekte bir demir yığını tasarlamadı. Turing, bu günkü bilgisayarların çalışma ilkelerine çok benzeyen bir yöntemle, çözümü gerçekte var olan bütün problemleri çözen mekanik bir makinanın (daha doğrusu bir algoritmanın) var olamayacağını kanıtladı (1936). Bu sonuç, farklı bir yaklaşımla Gödel’i doğrulamaktadır. Daha sonra, G.Chaitin, tutarlı bir matematiksel sistem içinde kanıtlanabilecek teoremlerin en çok sayılabilir sonsuz çoklukta olduğunu kanıtladı. Bunu daha açık söylersek, tutarlı bir sistemde sayılamayan sonsuz çoklukta doğru önerme varsa, biz ancak onların sayılabilir sonsuz tanesini kanıtlayabiliriz. Ötekiler doğru olmaya devam ederler. Bunu iyi bilinen bir örneğe benzetelim. Gerçel (real) sayılar kümesi sayılamaz sonsuz çokluktadır. Biz onu birer birer saymaya kalkarsak, onun içinden ancak sayılabilir sonsuz tanesini (rasyonel sayılar kadarını) sayabiliriz. Geride kalanları (irrasyonel sayılar kadarını) sayamayız; ama onlar gerçel sayı kümesinde varlıklarını sürdürürler. Kurt Gödel’in eksiklik teoremi buna benzer. Yeterine büyük (sayılamaz sonsuz çoklukta doğru önerme içeren) bir sistemde, biz ancak onların sayılabilir sonsuz tanesini kanıtlayabiliriz. Ama geride kalanlar doğru önerme olma niteliklerini yitirmezler. Bu sonuç, sonsuzun olağanüstü özelliklerinden birisidir.

Kaynak:Prof Dr.Timur Karaçay'ın 'bilim,matematik ve postmodernizm' yazısından...

Hiç yorum yok:

Yorum Gönder

İzleyiciler